İki Eğri Arasındaki Alan

 9. İki Eğri Arasındaki Alan

f(x)−g(x) formülü · Kesişim noktaları · Yer değiştiren eğriler

  9.1 Kavram

Bölüm 14'te bir eğri ile x ekseni arasındaki alanı hesapladık: önce kökleri bul, sonra işarete göre parçala. Şimdi iki eğri arasındaki alana geçiyoruz. Temel fikir basit: üstteki eğri eksi alttaki eğri. Ama iki eğri yer değiştirebilir — bir aralıkta $f$ üstte, başka aralıkta $g$ üstte olabilir. Bu yüzden kesişim noktalarını bulup, her bölgede hangi eğrinin üstte olduğunu test etmemiz gerekir.

$f(x)\geq g(x)$ ise $[a,b]$'de iki eğri arasındaki alan:

$$A = \int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx$$

Adım adım yöntem:

1. $f(x)=g(x)$ çöz → kesişim noktalarını bul.

2. Her parçada hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirle (test noktası seç).

3. Her parçada $(\text{üstteki}) - (\text{alttaki})$ alarak integrali hesapla.

4. Parça alanlarını topla.

 💡İpucu: Eğriler simetrikse (örneğin çift fonksiyonlar), yarı aralıkta hesapla ve 2 ile çarp. Bu zaman kazandırır.

 9.2 Örnekler

 Örnek 1 — Tek bölge:

$f(x) = -x^2+6$ ve $g(x) = x$ arasındaki alan?

 Kesişim: $-x^2+6=x \implies x^2+x-6=0 \implies (x+3)(x-2)=0$; $x=-3,\ x=2$

 Test ($x=0$): $f(0)=6>g(0)=0$ → $[-3,2]$'de $f\geq g$

 $$A = \int_{-3}^{2}\bigl[(-x^2+6)-x\bigr]\,dx = \int_{-3}^{2}(-x^2-x+6)\,dx$$

 $$= \left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+6x\right]_{-3}^{2}$$

 $$= \left(-\frac{8}{3}-2+12\right)-\left(9-\frac{9}{2}-18\right) = \frac{22}{3}-\left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{22}{3}+\frac{27}{2} = \frac{44+81}{6} = \frac{125}{6} \text{ birimkare}$$

Örnek 2 — Yer değiştiren eğriler:

 $f(x)=x^3-3x$ ve $g(x)=x$ arasındaki toplam alan?

 Kesişim: $x^3-4x=0 \implies x(x-2)(x+2)=0$; $x=-2,\ 0,\ 2$

• $[-2,0]$'da $f\geq g$ (test $x=-1$: $f(-1)=2>g(-1)=-1$)
• $[0,2]$'de $g\geq f$ (test $x=1$: $f(1)=-2<g(1)=1$)

 $$A = \int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx + \int_0^{2}(-x^3+4x)\,dx$$

 $$= \left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0} + \left[-\frac{x^4}{4}+2x^2\right]_0^{2}$$

 $$= [0-(4-8)]+[(-4+8)-0] = 4+4 = 8 \text{ birimkare}$$

 

 Örnek 3 — Sabit dikey mesafe (tuzak veri):

 $f(1)=0$, $f(4)=0$, $[1,4]$'te $f(x)\geq0$ ve $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx=9$ ise

 $f(x)$ ile $g(x)=f(x)-3$ arasındaki alan?

 $f(x)-g(x) = f(x)-(f(x)-3) = 3$ (sabit)

 $$A = \int_1^4 3\,dx = 3\times(4-1) = 9 \text{ birimkare}$$

 Not: $\int_1^4 f(x)\,dx = 9$ bilgisi soruda verilmiş ama hesaplamada kullanılmadı. Bu bir tuzak veri — dikkat dağıtıcı.

 9.3 Sık Yapılan Hatalar

 9.4 Ek Sorular (Çözümlü)

 Örnek 1:

 $y=x^2$ ve $y=x$ eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?

 Çözüm:

 Kesişim: $x^2=x$ → $x(x-1)=0$ → $x=0,\ 1$

 Test $x=0.5$: $y=0.5 > y^2=0.25$ → $[0,1]$'de $x$ üstte

 $$A = \int_0^1 (x-x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

Örnek 2:             

 $y=4-x^2$ ve $y=x+2$ eğrileri arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?

 Çözüm:

 Kesişim: $4-x^2=x+2$ → $x^2+x-2=0$ → $(x+2)(x-1)=0$ → $x=-2,\ 1$

 Test $x=0$: $4-0=4 > 0+2=2$ → $[-2,1]$'de $4-x^2$ üstte

 $$A = \int_{-2}^1 [(4-x^2)-(x+2)]\,dx = \int_{-2}^1 (2-x-x^2)\,dx$$

 $$= \left[2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^1 = \left(2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(-4-2+\frac{8}{3}\right) = \frac{7}{6}-\left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{9}{2}$$


Örnek 3:

 $y=x^3$ ve $y=x$ eğrileri arasında, $x\ge 0$ bölgesinde kalan alan kaç birim karedir?

 Çözüm:

 Kesişim: $x^3=x$ → $x(x^2-1)=0$ → $x=-1,\ 0,\ 1$; $x\geq 0$'da kesişim: $x=0,\ 1$

 Test $x=0.5$: $y=0.5 > y^3=0.125$ → $[0,1]$'de $x$ üstte

 $$A = \int_0^1 (x-x^3)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$


 Örnek 4:

 $y=x^2$ ve $y=8-x^2$ parabolleri arasında kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?

 Çözüm:

 Kesişim: $x^2=8-x^2$ → $2x^2=8$ → $x=\pm 2$

 Test $x=0$: $y=0 < y=8$ → $[-2,2]$'de $8-x^2$ üstte (simetri var)

 $$A = 2\int_0^2 [(8-x^2)-x^2]\,dx = 2\int_0^2 (8-2x^2)\,dx = 2\left[8x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^2$$

 $$= 2\left(16-\frac{16}{3}\right) = 2\cdot\frac{32}{3} = \frac{64}{3}$$


Örnek 5:

 $y=\sqrt{x}$ ve $y=x$ eğrileri arasında, $x\ge 0$ bölgesinde kalan alan kaç birim karedir?

 Çözüm:

 Kesişim: $\sqrt{x}=x$ → Karesini alalım: $x=x^2$ → $x^2-x=0$ → $x=0,\ 1$

 Test $x=0.25$: $\sqrt{0.25}=0.5 > 0.25$ → $[0,1]$'de $\sqrt{x}$ üstte

 $$A = \int_0^1 (\sqrt{x}-x)\,dx = \left[\frac{2x^{3/2}}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

 9.5 Modelleme Uygulaması

 Soru — Dekoratif vitray pencere:

 Bir atölyenin cephesine yerleştirilecek dekoratif vitray pencere, koordinat düzleminde (zemin $y=0$ kabul edilerek)

 $$f(x)=4-x^2\qquad\text{ve}\qquad g(x)=2-2x^2$$

 parabolleri arasında kalan bölgeyle modellenmektedir (birimler metredir). Pencerenin renkli cam kaplı yüzeyi, $f$'in zeminle sınırladığı dış bölge ile $g$'nin zeminle sınırladığı iç bölge arasındaki net (dolgu) alandır.

 (a) Vitray yüzeyinin (net kaplanacak bölgenin) alanını bulunuz.

 (b) Cam, m² başına 50 TL olduğuna göre, camın maliyetini bulunuz.

 (c) Pencerenin her iki yüzü de (içeriden ve dışarıdan) aynı camla kaplanacaktır. Toplam cam maliyetini bulunuz.

 Çözüm:

 Dış parabol zeminde sıfırlanır: $f(x)=0\implies 4-x^2=0\implies x=\pm2$ (dış açıklık 4 m).

 İç parabol zeminde sıfırlanır: $g(x)=0\implies 2-2x^2=0\implies x=\pm1$ (iç açıklık 2 m).

 Net vitray alanı, dış bölge alanından iç bölge alanının çıkarılmasıyla bulunur:

 $$A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx-\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx$$

 Dış bölge: $$\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=2\left(8-\frac{8}{3}\right)=\frac{32}{3}$$

 İç bölge: $$\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx=2\left[2x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^1=2\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{3}$$

 $$A=\frac{32}{3}-\frac{8}{3}=8\ \text{m}^2$$

 (b) Cam maliyeti:

 $$8\times50=400\ \text{TL}$$

 (c) Pencerenin iki yüzü de kaplanacağından, alan iki katına çıkar (hacme geçiş yoktur, yüzey ikilenir):

 $$2\times8\times50=800\ \text{TL}$$

 Soru 1:

 $y = x+2$ ve $y = x^2$ eğrileri arasındaki alanı bulunuz.

 Çözüm:

 Kesişim: $x+2=x^2$ → $x^2-x-2=0$ → $(x-2)(x+1)=0$ → $x=-1$, $x=2$

 Test $x=0$: $x+2=2 > x^2=0$ → $x+2$ üstte> $A = \int_{-1}^2 (x+2-x^2)dx = [x^2/2 + 2x - x^3/3]_{-1}^2$

 $= (2+4-8/3) - (1/2-2+1/3) = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2$ birimkare

 Soru 2:

 $y = x^2$ ve $y = 2-x^2$ eğrileri arasındaki alanı bulunuz.

 Çözüm:

 Kesişim: $x^2=2-x^2$ → $2x^2=2$ → $x=\pm1$

 Test $x=0$: $2-x^2=2 > x^2=0$ → $2-x^2$ üstte> Simetri var: $A = 2\int_0^1 (2-x^2-x^2)dx = 2\int_0^1 (2-2x^2)dx = 2[2x-2x^3/3]_0^1 = 2(2-2/3) = 2(4/3) = 8/3$ birimkare

 Soru 3:

 $y = x^3$ ve $y = x$ eğrileri arasındaki toplam alanı bulunuz.

 Çözüm:

 Kesişim: $x^3=x$ → $x(x^2-1)=0$ → $x=-1,0,1$

 $[-1,0]$: test $x=-0{,}5$ → $x^3=-0{,}125 > x=-0{,}5$ → $x^3$ üstte> $[0,1]$: test $x=0{,}5$ → $x=0{,}5 > x^3=0{,}125$ → $x$ üstte> $A = \int_{-1}^0 (x^3-x)dx + \int_0^1 (x-x^3)dx = [x^4/4 - x^2/2]_{-1}^0 + [x^2/2 - x^4/4]_0^1$

 $= (0-(1/4-1/2)) + (1/2-1/4-0) = 1/4 + 1/4 = 1/2$ birimkare

 Soru 4:

 $y = x^2$ ve $y = 4$ doğrusu arasındaki alanı bulunuz.

 Çözüm:

 Kesişim: $x^2=4$ → $x=\pm2$; çift fonksiyon (simetri)> $A = 2\int_0^2 (4-x^2)dx = 2[4x-x^3/3]_0^2 = 2(8-8/3) = 2(16/3) = 32/3$ birimkare