Rakam ve Sayı Kümeleri

 1.1 Sayı Kümeleri

 🎯 Kazanımlar

Bu bölümü tamamladığında:

• Doğal sayılar ($\mathbb{N}$), tam sayılar ($\mathbb{Z}$), rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$), irrasyonel sayılar ($\mathbb{Q}'$) ve gerçek sayılar ($\mathbb{R}$) kümelerini tanımlayabilecek,
• Bir sayının hangi sayı kümesine/kümelerine ait olduğunu belirleyebilecek,
• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ kapsama ilişkisini ve $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$ eşitliğini uygulayabilecek,
• Köklü ifadelerin hangi durumlarda rasyonel, irrasyonel ya da tanımsız (gerçek sayı belirtmeyen) olduğunu ayırt edebileceksin.

 Rakam ve Sayı Kümeleri

Sayıları yazmak için kullanılan sembollere rakam denir. Rakamlar kümesi

$$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$$

elemanlarından oluşur.

Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): $0, 1, 2, 3, \dots$ şeklinde devam eden sayıların kümesidir.

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$$

Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar kümesine $-1, -2, -3, \dots$ gibi negatif tam sayıların eklenmesiyle elde edilen kümedir.

$$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$

Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a, b \in \mathbb{Z}$ ve $b \neq 0$ olmak üzere $\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılabilen sayılardır. Ondalık açılımı ya sonlu basamaklıdır ya da belli bir noktadan sonra periyodik olarak tekrar eder.

İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}'$): $\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımları hem sonsuza gider hem de periyodik değildir. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ bu kümeye örnektir.

 Not: İrrasyonel sayıların tamamı köklü ifade değildir  $\pi$ ve $e$ sayıları köklü olmadığı hâlde irrasyoneldir. "Kök dışına tam çıkamama" özelliği yalnızca köklü irrasyonel sayılar (örn. $\sqrt{2}, \sqrt{3}$) için geçerlidir, genel bir irrasyonel sayı özelliği değildir.

Gerçek (Reel) Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir.

$$\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$$

Gerçek sayılar kümesinin her elemanı, sayı doğrusu üzerinde tam olarak bir noktaya karşılık gelir ve bu doğru üzerindeki her nokta bir gerçek sayı belirtir.

 Kümeler Arası Kapsama İlişkisi

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

 Gerçek Sayı Belirtmeyen İfadeler

Negatif bir sayının çift dereceden kökü gerçek sayılar kümesinde tanımsızdır; yani $\mathbb{R}$ kümesinin bir elemanı değildir. Bu ifadeler ne rasyoneldir ne irrasyoneldir çünkü $\mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$ olduğundan, $\mathbb{R}$'ye ait olmayan bir ifade doğal olarak bu birleşimin de dışında kalır.

$$\sqrt{-4}, \quad \sqrt{-9}, \quad \sqrt[4]{-16} \ \Rightarrow \ \text{gerçek sayı belirtmez}$$

 ⚠️ Bu ifadeler AYT'de karmaşık sayılar konusunun temelini oluşturur; TYT kapsamında yalnızca "gerçek sayı belirtmediğini" tespit etmen istenir.

 Sayı Doğrusunda İrrasyonel Sayı Gösterimi

Köklü bir irrasyonel sayının sayı doğrusu üzerindeki konumu, Pisagor teoremi yardımıyla geometrik olarak belirlenebilir.

 ✏️ Örnekler

Örnek 1: Aşağıdaki sayılardan hangileri irrasyoneldir?

$$-3, \quad \sqrt{16}, \quad \sqrt{7}, \quad \dfrac{5}{2}, \quad \pi, \quad 0{,}\overline{3}$$

Çözüm:

• $-3$: tam sayı, dolayısıyla rasyonel.
• $\sqrt{16} = 4$: tam kare olduğundan kökten tam sayı çıkar, rasyonel.
• $\sqrt{7}$: 7 tam kare olmadığından kökten tam sayı çıkmaz, irrasyonel.
• $\dfrac{5}{2}$: iki tam sayının oranı, rasyonel.
• $\pi$: köklü olmayan irrasyonel sayı, irrasyonel.
• $0{,}\overline{3} = \dfrac{1}{3}$: periyodik ondalık sayı, rasyonel.

Irrasyonel sayılar: $\sqrt{7}$ ve $\pi$.

Örnek 2: $\sqrt{2x - 6}$ ifadesinin gerçek sayı belirtmesi için $x$ tam sayısının alabileceği en küçük değeri bulunuz.

Çözüm: Kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir:

$$2x - 6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3$$

En küçük tam sayı değeri $x = 3$'tür.

Örnek 3: $A = \{\sqrt{5}, -2, \sqrt{25}, \dfrac{3}{7}, \sqrt{-8}\}$ kümesi veriliyor. Bu kümenin kaç elemanı gerçek sayıdır?

Çözüm:

• $\sqrt{5}$: irrasyonel, gerçek sayı. ✓
• $-2$: tam sayı, gerçek sayı. ✓
• $\sqrt{25} = 5$: rasyonel, gerçek sayı. ✓
• $\dfrac{3}{7}$: rasyonel, gerçek sayı. ✓
• $\sqrt{-8}$: negatif sayının çift dereceden kökü, gerçek sayı belirtmez. ✗

Gerçek sayı olan eleman sayısı: 4.

Örnek 4: $x$ bir doğal sayı olmak üzere, $\sqrt{18 - x}$ ifadesinin bir tam sayı belirtmesi için $x$ kaç farklı değer alabilir?

Çözüm: $18 - x$ ifadesinin tam kare bir sayı (ve $\geq 0$) olması gerekir. $x \geq 0$ olduğundan $18 - x \leq 18$'dir. $0$ ile $18$ arasındaki tam kareler:

$$0, 1, 4, 9, 16$$

Bu durumda:

• $18 - x = 0 \Rightarrow x = 18$
• $18 - x = 1 \Rightarrow x = 17$
• $18 - x = 4 \Rightarrow x = 14$
• $18 - x = 9 \Rightarrow x = 9$
• $18 - x = 16 \Rightarrow x = 2$

$x$, 5 farklı değer alabilir.

Örnek 5: $\sqrt{2}$ ve $-\sqrt{2}$ sayılarının toplamının rasyonel bir sayı olduğunu gösteriniz. Bu durum, "iki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir" ifadesi için ne anlama gelir?

Çözüm:

$$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$$

$0$ sayısı $\dfrac{0}{1}$ biçiminde yazılabildiğinden rasyoneldir. Oysa $\sqrt{2}$ ve $-\sqrt{2}$ sayılarının ikisi de irrasyoneldir.

Bu sonuç, iki irrasyonel sayının toplamının irrasyonel olmak zorunda olmadığını; yani "iki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir" ifadesinin genel olarak doğru olmadığını gösterir.

 ⚠️Sık Yapılan Hatalar

 🔴"Bütün köklü sayılar irrasyoneldir" yanılgısı: $\sqrt{16} = 4$ gibi tam kare olan köklü ifadeler aslında rasyoneldir. Kökün "sadeleşip sadeleşmediğine" bakmadan irrasyonel demek en sık yapılan hatadır.

 🔴Negatif sayının çift kökünü irrasyonel sanmak: $\sqrt{-9}$ irrasyonel değildir — gerçek sayı kümesinin dışındadır, yani hiçbir alt kümeye (ne $\mathbb{Q}$'ya ne $\mathbb{Q}'$'ye) ait değildir.

🟡 Periyodik ondalık sayıları irrasyonel sanmak: $0{,}\overline{3}$ gibi periyodik ondalık sayılar aslında kesir biçiminde yazılabildiğinden rasyoneldir; yalnızca periyodik olmayan sonsuz ondalık açılımlar irrasyoneldir.